Dimostrazione della non generalizzazione della formula quadratica

Questa è la formula quadratica...

Ognuno di noi che ha fatto la 3a media ha sicuramente visto questa cosa almeno una volta nella sua vita

Ieri, durante una lezione di matematica, mi sono trovato a dover risolvere un'equazione di 3° grado

Non una delle migliori, ma fattibile dato che mancava il termine x²

rx³ + sx² + t = 0

Quindi, invece di risolverla normalmente a tentativi, mi sono detto:

Perché non usare la formula quadratica per risolverla?

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Qualcuno potrebbe obiettare dicendo che è sbagliato usare la formula in questo caso, tuttavia, con un passaggio aggiuntivo, possiamo notare che è possibile usarla in una maniera logicamente corretta

Prendiamo la mia equazione di partenza:

x³ + 4x + 6 = 0

Non qualcosa di totalmente intuitivo

Perciò, ho pensato di scomporre il primo termine così:

x³ = x(x²)

E dunque, riscrivendo l'equazione:

x(x²) + 4(x) + 6 = 0

Abbiamo finalmente un'equazione di secondo grado! O almeno vicina

Con questo, possiamo quindi usare la formula risolutiva:

x = ( - b ± √( b² - 4ac ) ) / 2a

a è il coefficente del termine x² b è il coefficente del termine x

c è il coefficente del termine noto

Sostituendo:

x = ( - 4 ± √( (-4)² - 4( x )( 6 ) ) ) / 2x

E proseguendo con i passaggi:

x = ( - 4 ± √( 16 - 24x ) / 2x Semplifico la parte sotto radice

2x² = - 4 ± √( 16 - 24x )        Moltiplico per il denominatore

2x² + 4 = ± √( 16 - 24x )        Aggiungo 4 da entrambi i lati

( 2x² + 4 )² = 16 - 24x        Elevo tutto al quadrato*

*considero anche soluzioni complesse, non ci sono ulteriori restrizioni

4x⁴ + 16 + 16x² = 16 - 24x        Espando il binomio

4x⁴ + 16x² = - 24x        Semplifico sottraendo 16 da ambo i lati

4x⁴ + 16x² + 24x = 0        Aggiungo 24x da ambo i lati

x⁴ + 4x² + 6x = 0        Divido tutto per 4

x ( x³ + 4x + 6 ) = 0        Raccolgo la x in comune a tutti gli addendi

E per la legge di annullamento dei prodotti:

x = 0

o

x³ + 4x + 6 = 0

Tuttavia, x³ + 4x + 6 = 0 è l'equazione di partenza, quindi darebbe lo stesso risultato se risolta nuovamente

Dunque l'unica soluzione sembra essere x = 0

Che come possiamo vedere chiaramente non soddisfa l'uguaglianza

(0³) + (4 • 0) + 6 = 0

6 ≠ 0

Dunque, concludo che la formula quadratica applicata su un polinomio di terzo grado non funziona su questa equazione

Ma funzionerà su una più generica??

Per questo, pubblicherò una dimostrazione più generalizzata, possibilmente entro lunedì mattina

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Oggi ho deciso di farla un pò più breve, perchè credo che troppa carne sul fuoco ogni volta non porti a niente, solo a più confusione

Detto questo però, non smetterò, e continuerò nonostante tutto

Per oggi vi lascio con questa citazione:

"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo è un oceano" , Sir Isaac Newton

Al prossimo post