Dimostrazione della non generalizzazione della formula quadratica per parametri intervariabili

Eccomi...

E come promesso

L'ultima volta ho cercato di risolvere una cubica incompleta con la formula quadratica, ma non è andata bene...

Sarà stato un caso? O effettivamente non è possibile usarla in questo caso?

Oggi lo andremo a scoprire!

Iniziamo

PS. Questa dimostrazione avrà molte terminologie matematiche, non vi spaventate

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Dimostrazione per generalizzazione e contraddizione

Sia rx³ + sx + t = 0 un'equazione di 3° grado incompleta

r, s, t ∈ C

rx³ + sx + t → rx(x²) + s(x) + t Raccolgo rx dal primo termine

Supponiamo per assurdo che si possa generalizzare la formula quadratica usando parametri intervariabili (che cambiano in base alla soluzione, non indipendenti):

rx(x²) + s(x) + t = 0

x = (- b ± √ ( b² - 4ac ) ) / 2a          Uso la formula quadratica

x = (- s ± √ ( s² - 4 ( rx )( t ) ) ) / 2rx          a = rx | b = s | c = t

x = (- s ± √ ( s² - 4rtx ) ) / 2rx          Semplifico sotto la radice

2rx² = - s ± √ ( s² - 4rtx )          Moltiplico entrambi i lati per 2rx

2rx² + s = ± √ ( s² - 4rtx )          Aggiungo + s da entrambi i lati

( 2rx² + s )² = s² - 4rtx          Elevo entrambi i lati al quadrato

4r²x⁴ + 4rsx² + s² = s² - 4rtx          Espando il quadrato di binomio a sinistra

4r²x⁴ + 4rsx² = - 4rtx          Sottraggo + s da entrambi i lati

4r²x⁴ + 4rsx² + 4rtx = 0          Aggiungo + 4rtx da entrambi i lati

rx⁴ + sx² + tx = 0          Divido entrambi i lati per 4r

x ( rx³ + sx + t ) = 0          Raccolgo x da tutti i termini

Per la legge di annullamento del prodotto:

x = 0

o

rx³ + sx + t = 0

La prima equazione restituisce S = { 0 }

La seconda equazione è uguale a quella di partenza, quindi risolverla con lo stesso metodo porterebbe allo stesso risultato ( S = {∅} )

Dunque, unendo le possibili soluzioni, otteniamo S = { 0 }

Questa dimostrazione presenta due criticità:

1. Questa dimostrazione mostra come: ∀(r,s,t)∈C ∃! S: S = 0 Per ogni tripla di ( r, s, t ) appartenenti all'insieme complesso esiste una e una soluzione tale che S = { 0 } Questo caso però è solo verificato quando t = 0 Ciò contraddice la condizione di partenza che t∈C senza vincoli

   
   
   
   
   
   

2. Questa dimostrazione mostra come: ∀(r,s,t)∈C ∃! S: S = 0 Questo contraddice il teorema fondamentale dell'algebra, che afferma che ∀P(x) ∈ C[x] ⇒ | S | = grado( P(x) ) Per ogni polinomio con coefficenti appartenenti all'insieme complesso, il numero di soluzioni è pari al grado del polinomio Ed essendo l'equazione di partenza di 3° grado: 3 ≠ | S = { 0 } | 3 ≠ 1

   
   
   
   

Dunque, avendo due contraddizioni, concludo che la formula quadratica non risulta più valida usando come parametri l'incognita di partenza

CVD

Scolz F.