La matematica e gli errori più comuni

Buongiorno a tutti!

Oggi mi sono svegliato con un messaggio di un mio compagno, che mi chiedeva di aiutarlo con un problema che non tornava

Vado ad indagare nei suoi passaggi e trovo questo:

(2x + 7) / 2 = 0

x + 7 = 0

x = -7

Questo è chiaramente un errore

E di quelli banali che fanno bruciare gli occhi a chiunque lo veda...

Oggi quindi, andremo a vedere gli errori più comuni nella matematica

E delle veloci dimostrazioni sul perché non funzionano!

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1) Divisione di un polinomio

Semplice si, ma distruttivo

Sia nei calcoli, sia nel voto finale

( 4x + 8 ) / 2

NON È:

2x + 8

Ma è:

4x/2 + 8/2

2x + 4

Questo perché, quando dividiamo un polinomio, dobbiamo dividere ogni singolo addendo uno per uno

Per esempio:

(4 + 5) / 3

Si somma l'interni della parentesi poi si divide:

9 / 3

= 3

E dato che un polinomio non può essere ridotto a 1 termine però, procediamo alla divisione membro per membro

2) Divisione tra fattori

Supponiamo di avere:

( 6 • x ) / 3

Per la regola di prima, si divide ogni membro per 3, no?

3 • (x / 2)

NO, perché tra fattori (moltiplicazione), si divide solo UNO dei fattori

Quindi:

( 6 • x ) / 3

= ( 3 • x ) oppure ( 6 • ( x / 2 ) )

Che risultano essere uguali ∀x∈C

3) Esponenti e radici

Prendiamo √(2³) ( la radice è sottintesa quadrata )

L'errore che alcuni fanno è quello di sottrarre l'indice della radice (2) all'esponente del 2 (3)

Ottenendo 3 - 2 = 1

Quindi 2¹

Il che, ovviamente, è sbagliato. Bisogna DIVIDERE l'esponente per l'indice

Questo Perché:

ⁿ√(a^b) = (a^b)^(1/n)

a^(b/n)

Confermando l'errore del primo ragionamento

4) Fattoriali e divisioni

Questo è meno comune, ma alquanto grave:

6! / 3!

= 3!

Anche qua, c'è un errore, perché scomponendo i fattoriali in fattori:

( 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 ) / ( 3 • 2 • 1 )

Si semplifica in

( 6 • 5 • 4 )

Che è diverso da 3! (3 • 2 • 1 )

Errore piuttosto comune nelle formule "n choose k" usate nella teoria dei numeri

n! / ( k! • (n-k)! )

5) Moltiplicazione tra esponenti

Ok, lo ammetto...

Anch'io sono reduce di questo errore

5^6 = 5^( 2 • 3 ) = 5² • 5³

Errore che si verifica spesso quando si trattano numeri complessi ed incognite all'esponente

Per esempio, un giorno ho provato a risolvere:

2^x = x

Prendo il logaritmo di ambo i lati:

ln(2^x) = ln(x)

x • ln(2) = ln(x)

Elevo e ad entrambi i membri

e^(x • ln(2)) = e^ln(x)

E commetto l'errore

Dividendo e^(x • ln(2)) in e^x • e^ln(2)

E dunque ottengo il risultato sbagliato

Quindi attenzione!

x^( ab ) = ( x^a )^b

x^( a + b ) = x^a • x^b

6) Errori di condizioni di esistenza

Ancora più banale? Sì, ma ancora più distruttiva!

log(x+10)/x = 1

log(x+10) = x

...

E risolvendo, troviamo che x = 0

Dunque è soluzione? NO!

Perché abbiamo dimenticato di imporre la condizione di partenza x ≠ 0 (il denominatore non può essere 0)

Dunque, errore fatale che probabilmente ci costerà caro

7) Errori in calcolo combinatorio

Supponiamo di avere un codice di sblocco a 4 cifre, con numeri 0-9

Il numero di codici possibili sarà 4! = 24, no?

No

Il fattoriale si usa quando si hanno elementi non ripetibili, come 4 scatole diverse

Qua bisogna usare un'altra formula:

P = n^s

Le possibilità sono pari al numero di possibilità per ogni "slot", elevato a quanti slot dobbiamo coprire

Okok, allora se voglio un pin con cifre tutte diverse, uso 4!

No, perché a quel punto bisogna usare un'altra formula ancora:

nPr = n! / (n-k)!

Le "permutazioni" possibili risultano come il fattoriale del numero di cifre diviso il fattoriale del numero di "slot" da coprire

In questo caso:

10! / (10-4)!

10 • 9 • 8 • 7 = 5040

E se voglio sapere il numero di combinazioni non permutazioni? (Senza contare l'ordine in cui escono)

Uso:

nCr = n! / ( k! • (n-k)! )

Con lo stesso ragionamento di prima, n sono il numero di cifre possibili, k sono gli "slot"

nCr = 10! / (4! • (10-4)!)

= 210 combinazioni

8) Errori di parentesi

Questo accade soprattutto con la calcolatrice...

Se dobbiamo calcolare 5 / ( 3 • 2 ), e scriviamo:

5 / 3 • 2

Otterremmo 3.33333

Il che è chiaramente errato, essendo che la frazione iniziale è minore di 1

Questo perché abbiamo omesso le parentesi:

5 / ( 3 • 2 )

= 5 / 6

= 0.83333

Quindi ragazzi, non dimenticatevi mai le vostre parentesi (meglio una in più che una in meno!)

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Ragazzi, lo ammetto, sono il primo a commettere questi errori...

Ma spero di potervi aiutare mostrandovi metodi alternativi per la soluzione!

Oggi post leggero, non vorrei appesantirvi il weekend

Perciò, questi erano 8 dei più comuni errori

Spero vi sia stato utile in qualche modo

Io vi mando i miei saluti e...

Al prossimo post