Numeri primi e funzioni reciproche

Cosa c'è di meglio che iniziare per primo con una riflessione sui numeri primi?

Nulla, quindi perché non iniziare?

Bene

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Recentemente mi sono messo sotto con i numeri primi, cercando analogie e pattern: non mi aspettavo nulla, considerando che non è stato scoperto ancora una formula vera e propria, ma ho fatto un'osservazione

• Se prendiamo due numeri primi consecutivi, come 2 e 3, la loro differenza percentuale, calcolata sul primo, è del 50% [ (3 - 2) / 2 = 50% ]

• Se prendiamo i prossimi due, 5 e 7, la loro differenza sarà del 40%

E così via, andando su numeri primi sempre più grandi, la loro differenza percentuale diminuisce sempre di più, fino ad arrivare a 0,1% per numeri vicini al 5000

Si può notare subito come le differenze percentuali (d'ora in poi chiamate D%) calino drasticamente fino a raggiungere livelli piccolissimi.

Possiamo richiamare questo stesso comportamento dalle funzioni reciproche, del tipo f(x) = k / x : k > 0

[ ATTENZIONE: Con questo chiaramente non si intende che le differenze dei numeri primi siano perfettamente approssimabili e, soprattutto per numeri inferiori a 1000, essa risulta MOLTO poco accurata (precisamente, il coefficiente di determinazione R² per una regressione reciproca delle D% dei numeri primi per {0<x<5000} risulta 0.698) ]

Una volta approssimata questa somiglianza, possiamo notare che, nonostante la D% cali con l'aumentare della grandezza dei numeri, le differenze assolute (d'ora in poi chiamate DA) restano simili

Questo è anche dimostrabile da quest'equazione:

DA = D% ⋅ N

Dove N è il numero di partenza, ovvero il più piccolo tra i due

Per fare un esempio, i numeri 5 e 7 hanno una D% del 40% tra il primo ed il secondo, quindi se vale la formula:

DA = D% ⋅ N

DA = 40% ⋅ 5

DA = 2

E come possiamo notare la differenza assoluta tra i due numeri primi è effettivamente 2

Inoltre:

DA = D% ⋅ N

Se D% = (n₂-n₁) / n₁ : n₂ > n₁

DA = ( (n₂-n₁) / n₁ ) ⋅ N

Definito N come il più piccolo dei due numeri n₁ e n₂ : N = n₁

Quindi, semplificando:

DA = n₂-n₁

Ovvero la definizione di differenza assoluta

Ora che abbiamo provato la nostra formula DA = D% ⋅ N, possiamo sostituire generalizzando per tutte le differenze assolute:

• D% con k / x Ovvero la nostra approssimazione per il modello di differenze percentuali (con la regola generalizzata a tutte le coppie di numeri primi)
  

• N con x Avendo mostrato sul grafico i numeri primi sulle ascisse come x

Sostituendo:

DA = (k / x) ⋅ x

E semplificando:

DA = k

Questo quindi ci dice che le differenze assolute tra numeri primi consecutivi, approssimando, è costante ed è positiva (dato il dominio di partenza, k > 0).

Essendo un'approssimazione, questa non è la verità.

Tuttavia questa semplificazione ci PUÒ aiutare con lo studio dei numeri primi dandoci una direzione in cui andare, per esempio facendoci notare come, prendendo qualsiasi numero primo, ne possiamo sempre trovare uno ad una certa "distanza" k, piccola o grande che sia

Foto di Deepak Gautam: https://www.pexels.com/it-it/foto/libro-aperto-240163/

Questa è solo la mia prima riflessione, e sono consapevole di non essere ancora perfetto. Se qualcuno tra di voi dovesse trovare degli errori nel mio ragionamento, vi prego di farmelo sapere tranquillamente

Per oggi è tutto...

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