Serie numeriche complesse

Bella?

Beh, sappiate che quest'immagine è stata prodotta da un'intelligenza artificiale...

Non che centri molto con l'argomento di oggi, ma è un dettaglio carino da menzionare

Oggi infatti andremmo a parlare di serie numeriche

Quelle cose che vanno da idiozie come ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

Fino a orrori inimmaginabili, che nessuno ha voglia di vedere

Ed indovinate un po'? Oggi parleremo di una di secondo tipo! ( o almeno vicina )

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Quindi, la serie numerica in questione è questa:

( 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0... )

Più precisamente, una serie che alterna 3 zeri con un numero crescente di 1

( 3 zeri 1 uno, 3 zeri 2 uno, 3 zeri 3 uno... )

Beh, quindi?

Quindi, in matematica, una definizione letterale non basta, e bisogna esplicitarla

Possiamo quindi dire:

Serie ( D'ora in poi chiamata S[n] ) =

Se n = CONDIZIONE: S[n] = 1

Altrimenti: S[n] = 0

Qual'è il problema? Trovare la condizione!

Ed è questo che ho fatto oggi tornato da scuola

( ho una vita molto triste, lo so )

Ho analizzato bene la formula, collegando ad ogni "posizione" il suo valore corrispondente ( 0 o 1 ):

S[0] = 0

S[1] = 0 S[2] = 0

S[3] = 0

S[4] = 1

S[5] = 0

S[6] = 0

S[7] = 0

S[8] = 1 S[9] = 1

S[10] = 0

...

Ho quindi provato diverse combinazioni di ak + b ( k∈Z ):

Ho provato prima n = 3k + 1, ma fallisce quasi subito a rappresentare la posizione dei valori 1

Poi n = 4k, ma anche questo non funziona

Poi n = 5k - 1, ma niente da fare

Tutte, prima o poi, restituivano n precedenti a quelle cercate

Come se la formula andasse troppo veloce...

(Per i precisini, la formula fallisce perchè lineare, mentre la serie non lo è)

Dunque ho provato a integrare la n stessa nella formula:

Sapendo che la "distanza aggiunta" tra ogni serie di 1, ogni volta che si raggiunge la serie di 1 cresce linearmente, ho provato così:

n = 4k + ( n - 1 )

Dove n - 1 è la "posizione" precedente

Ma mi sono accorto subito di aver sbagliato ragionamento, dato che:

n = 4k + ( n - 1 )

n = 4k + 4( k - 1 )

n = 4k + 4k - 4

n = 8k - 4

E constatato prima che qualsiasi formula di tipo ak + b fallisce a restituire valori corretti sempre:

Questa non è una soluzione

Ho dunque riguardato la serie:

S[0] = 0

S[1] = 0

S[2] = 0

S[3] = 0

S[4] = 1

S[5] = 0

S[6] = 0

S[7] = 0

S[8] = 1

S[9] = 1

S[10] = 0

...

Soffermandomi sulla posizione degli 1 finali

4, 9, 15, 22, 30...

Ho notato questo:

Sia la prima occorenza T:

T / T + (T+1) / T + (T+1) + (T+2) / T + (T+1) + (T+2) + (T+3) ...

E in questo caso, T = 4

Dunque, la "posizione" dell'ultimo 1 nell' n°esima occorrenza di valori 1 concatenati ( S[n] , l'ultimo valore 1 della fila ), sarà:

Ʃ ( 4 + i )

Con i che va da 0 a ( n - 1 )

Quindi, riscrivendo:

S[n] = 4 + ( 4 + 1 ) + ( 4 + 2 ) + ( 4 + 3 ) ...

S[n] = ( n • 4 ) + ( 1 + 2 + 3 ... )

E per definizione, la somma dei primi n numeri naturali è n(n-1)/2

Quindi, avendo noi la somma di (n-1) numeri naturali:

S[n] = 4n + (n-1)(n-2)/2

Quindi, abbiamo finalmente ottenuto una formula che ci restituisce la posizione dell'ultimo valore 1 nella n°esima occorrenza di concatenazioni 1

Ciò però non basta, chiaramente

Perché ci serve non solo l'ultimo valore, ma tutti...

Dunque, come trovare questi valori?

Possiamo usare di nuovo lo stesso ragionamento, che però presenterò una prossima volta!

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Oggi argomento nuovo, come sempre d'altronde...

Ma che ha la capacità di trasformare qualcosa di semplice da capire in qualcosa di caotico, come vedremo le prossime volte

Io quindi, vi auguro a tutti un buon weekend e...

Al prossimo post