Serie numeriche complesse pt. 2

Eccomi qua di nuovo...

Oggi torniamo sulla serie che abbiamo analizzato l'altra volta:

[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0...]

3 zeri con un numero crescente di 1

L'altra volta abbiamo visto come la formula:

S[n] = 4n + (n-1)(n-2)/2

Restituisca la posizione dell'ultimo valore 1 della n°esima occorrenza

Oggi quindi, andremo a cercare TUTTI i valori 1 presenti e le loro relative posizioni

O almeno ci proveremo...

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Partiamo subito con il riscrivere la formula, dato che ho sbagliato a scriverla!

S[n] = 4n + n(n-1)/2

invece che (n-1)(n-2)/2

E quindi, proseguendo con i calcoli:

S[n] = 4n + n(n-1)/2

S[n] = 8n/2 + n(n-1)/2

S[n] = ( 8n + n(n-1) ) / 2

S[n] = ( 8n + n² - n ) / 2

S[n] = ( n² + 7n ) / 2

Otteniamo una bella equazione quadratica

Ora quindi, andiamo a vedere una formula per ricavare il penultimo valore 1 della n°esima occorrenza di serie di 1

Le prime posizioni in cui li troviamo sono:

8, 14, 21, 29

Quindi, applicando lo stesso ragionamento della scorsa volta:

8 / 8 + 6 / 8 + 6 + 7 / 8 + 6 + 7 + 8 / ...

E quindi convertendola in sommatoria:

f(n) = 8 + Ʃ( 6 + i ) con i che va da 0 a n - 1

Riscrivendo:

f(n) = 8 + ( ( 6 + (n-1) )( 6 + (n-2) )/2 ) - (6)(6-1)/2

f(n) = 8 + ( la somma dei primi 6+(n-1) numeri naturali, 6+(n-1) è l'ultimo valore della sommatoria Ʃ( 6 + i ) ) - (la somma dei primi 6 numeri naturali)

In modo che gli ultimi due addendi combinati, risultino i numeri da 6 a 6+(n-1)

8 + (6+n-1)(6+n-2)/2 - (6)(5)/2

8 + (n+5)(n+4)/2 - 15

(n+5)(n+4)/2 - 7

( (n+5)(n+4) - 14 ) / 2

( n² + 4n + 5n + 20 - 14 ) / 2

( n² + 9n + 6 ) / 2

E dunque, questa è la formula per trovare la posizione del penultimo valore 1 di ogni occorrenza!

Per trovare il terzultimo valore 1, stesso procedimento:

Posizioni dei primi terzultimi: 13, 20, 28, 37, 47...

Ovvero:

13 / 13 + 7 / 13 + 7 + 8 / 13 + 7 + 8 + 9 / 13 + 7 + 8 + 9 + 10 / ...

13 + Ʃ(7 + i) con i che va da 0 a n-2

13 + (7+n-1)(7+n-2)/2 - (7)(6)/2

13 + (n+6)(n+5)/2 - 21

(n+6)(n+5)/2 - 8

( (n+6)(n+5) - 16 ) / 2

( n² + 5n + 6n + 30 - 16 ) / 2

( n² + 11n + 14 ) / 2

Ed essendo che l'infinitesima occorrenza avrà infiniti 1 concatenati, bisogna trovare la formula per l'infinitultimo 1

Che chiaramente andremo a fare una prossima volta!

Eh, mica posso darvi tutto subito...

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Quindi? Ci avete capito qualcosa? Spero di si

La prossima volta, prometto, risolveremo la formula finale

Voi però sbizzarritevi, e cercate di trovare la soluzione prima di me!

Vi auguro un buon proseguimento di settimana e...

Al prossimo post