Serie numeriche complesse pt. 3

Scusate...

In questi giorni non sono stato benissimo

E ho deciso di prendermi qualche giorno di pausa...

Ma poco male! Perché oggi andremo a continuare il capitolo sulla mia serie

Pronti?

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PS. Darò per scontato che abbiate visto tutti i post precedenti e sappiate di cosa stiamo parlando

Allora, ricordiamo le formule derivate dalle scorse volte:

Ultimo 1 = ( n² + 7n ) / 2

Penultimo 1 = ( n² + 9n + 6 ) / 2

Terzultimo 1 = ( n² + 11n + 14 ) / 2

Andando ad indagare sui passaggi per le formule successive, ho notato che possiamo descrivere la formula come:

Fattore n²: sempre 1

Fattore n: parte da 7 e aumenta di 2

Fattore noto: aumenta di 6, 8, 10... (Numeri pari dopo il 6)

Quindi, sostituendo:

f(n, u) = ( n² + ( 5 + 2u )n + Σ(2x)) con x che va da 3 a u+1

Dove u è un indice di che posizione vogliamo trovare (1 = ultimo, 2 = penultimo, 3 = terzultimo...)

Ma chiaramente non ci va bene avere una sommatoria con un termine x, quindi bisogna riscriverla:

Seguitemi:

Se facciamo la Σ(x) otteniamo 1 + 2 + 3 + ... + n

Ma se sottraiamo (1+2)

3 + 4 + ... + n

E raddoppiamo:

6 + 8 + 10 + ... + 2n

Otteniamo ciò che vogliamo!

Quindi, riscriviamo come:

2 ([Somma] (x) - (1+2) ) con X che va da 1 a u+1

Ed essendo la somma dei primi u+1 numeri naturali u(u+1)/2:

2 ( u(u+1)/2 - 3 )

u(u+1) - 6

u² + u - 6

Quindi, proviamo questa formula!

u = 1: u² + u - 6 = -4

u = 2: u² + u - 6 = 0

u = 3: u² + u - 6 = 6

u = 4: u² + u - 6 = 14

...

Ok...

Notiamo che i risultati sono "sfasati" di due posti

Dove u = QUALCOSA, il risultato aspettato si trova ad u = QUALCOSA+2

Dunque, per risolvere questo errore possiamo sostituire u con (u-2) nella formula

Ottenendo:

(u-2)² + (u-2) - 6

u² + 4 - 4u + u - 2 - 6

u² - 3u - 4

Provandola:

u = 1: u² - 3u - 4 = -6

u = 2: u² - 3u - 4 = -6

u = 3: u² - 3u - 4 = -4

...

Ok, ora non ha proprio senso...

MA, caso vuole che io abbia sbagliato i conti nella mia soluzione:

u² + 4 - 4u + u - 2 - 6

u² + 3u - 4

Invertendo il segno del -3u

Nonostante tutto però, la formula funziona!

u = 1: u² + 3u - 4 = 0

u = 2: u² + 3u - 4 = 6

u = 3: u² + 3u - 4 = 14

u = 4: u² + 3u - 4 = 24

...

Dov'è l'errore??? Non me lo so spiegare!

Fatto sta che ora riusciamo ad esprimere la serie in funzione di due parametri:

u: l'indice di "ultimità" (1 = ultimo, 2 = penultimo, 3 = terzultimo...)

n: l'n°esima occorrenza di quell "ultimità"

Per esempio, il secondo penultimo uno sarà alla posizione:

( 2² + (5+2•2)2 + (2²+3•2-4) ) / 2 = ( 2² + 9•2 + 6 ) / 2 = 14

(0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1, 1 ,1,0...) 14° pos

Quindi, formula ricavata?

Non ancora, perché sono ancora due variabili

E le combinazioni di due variabili non le accettiamo per una funzione che descrive una serie, ne serve una sola

Come ricavarla? Lo vedremo nel prossimo episodio! (se possibile)

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Oggi abbiamo fatto un passo importante, e il prossimo dovrebbe concludere il tutto...

Spero di essere stato abbastanza chiaro

E vi auguro un buon lunedì...

Al prossimo post